Конспект урока по алгебре 11 класс Формула бинома Ньютона

УМК : «Алгебра и начала математического  анализа; А.Г Мордкович.2011г.

Уровень обучения – базовый

Тема урока–« Формула бинома Ньютона»

Общее количество  часов ,отведенное на изучение темы-2 часа

Место урока в  системе уроков по теме – Знакомство с новым материалом по теме (1час)  и закрепление (1час)

Цель урока: вывести формулу бинома Ньютона; сформулировать формулу бинома Ньютона для ; формировать умения использовать формулу бинома Ньютона при решении задач.

Задачи урока:  обучающие:научить представлять степень двучлена, используя  бином  Ньютона  и треугольник  Паскаля ;

-развивающие:создать условия для формирования информационной культуры учащихся;

воспитательные: формирование предприимчивости, находчивости, успешной стратегии поведения при наличии выбора заданий.

Планируемые результаты:уметь применять формулу бинома Ньютона при решении задач.

Техническое обеспечение урока– компьютер учителя, проектор.

Содержание урока

 Урок №1

Тема: Применение формулы бинома Ньютона

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Заполните пустые квадраты.

а) (3 + а)2 =  +  а + а2;

б) ( – b)2 = 49  14  + b2;

в) ( + )2 = 25 + 10  + 2;

г) (а + )3 = а3 +  а +  + 27.

2. Вычислите.

а) ;            б) ;            в) ;            г) .

III. Объяснение нового материала.

1. Материал о биноме Ньютона интересен и с исторической и с учебной точки зрения.

Во время выполнения устной работы мы повторили с учащимися формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим возведение в степеньпдвучлена (бинома) а + b и отметим определенные закономерности. Имеем:

приn = 0   (a + b)0 = 1;

приn = 1   (a + b)1 = a + b;

приn = 2   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

приn = 3   (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+ b3;

приn = 4   (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

Прежде всего отметим, что при возведении бинома а + b в степень п получаем однородный многочлен также степени п. Напомним, что однородным многочленом степени п по переменным а и b называют многочлен, состоящий из одночленов той же степени п, то есть из одночленов вида ankbk (где k = 0, 1, 2, …, n – 1, п). Например, при возведении во вторую степень (a + b)2 получаем однородный многочлен также второй степени a2 + 2ab + b2. При этом коэффициенты при одночленах тоже связаны определенными закономерностями.

2. Докажем, что выполняется формула (формула бинома Ньютона):

(a + b)n =

, где  – число сочетаний из п элементов по k, то есть .

При возведении бинома a + b в степень п надо п раз перемножить этот бином, то есть (a + b)(a + b) … (a + b). Чтобы при раскрытии скобок получить одночлен вида ankbk, нужно из п множителей вида a + b выбрать k множителей (порядок неважен). Тогда получим множитель bk. Это можно сделать  способами. При этом второй множитель ank получается автоматически. Итак, формула доказана.

3. Коэффициенты  также называют биномиальными. Они обладают рядом свойств, которые обсудим, рассмотрев треугольник Паскаля (составленную определенным образом таблицу).

1) В каждой строке находятся коэффициенты одночленов при возведении в степень п. Например, при п = 3 имеем коэффициенты 1, 3 3, 1 одночленов в многочлене a3 + 3a2b + 3ab2+ b3.

2) Каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Например,  (или 3 = 1 + 2) и  (или 3 = 2 + 1). Эта закономерность указана линиями.другими словами, в общем виде выполняется равенство .

3) Коэффициенты в строке симметричны относительно середины. Например, при п = 3 получили симметричные коэффициенты 1, 3, 3, 1. Иначе, в общем случае справедливо равенство .

4) Крайние коэффициенты в каждой строке равны 1, так как  = 1 и   = 1.

4. Рассматриваем пример со с. 330 учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 53.1 (а; б), № 53.2 (а; б).

№ 53.1.

Решение:

а) (x + 1)7 = x7 + 7 · x6 · 1 + 21 · x5 · 12 + 35 · x4 · 13 + 35 · x3 · 14 +
+ 21 · x2 · 15 + 7 · x · 16 + 17 = x7 + 7x6 + 21x5 + 35x4 + 35x3 + 21x2 + 7x + 1;

б) (2xy)6 = (2x)6 – 6 · (2x)5 · y + 15 · (2x)4 · y2 – 20 (2x)3y3 +
+ 15 · (2x)2y4 – 6 ·(2x) · y5 + y6 = 64x6 – 192x5y + 240x4y2 – 160x3y3 +
+ 60x2y4 – 12xy5 + y6.

2. № 53.3.

Решение:

а) P (x) = (1 + 3x)4 = 1 + 4 · (3x) + 6 · (3x)2 + 4 · (3x)3 + (3x)4.

Ответ: 108.

б) P (x) = (3 – 2x)5 = 35 + 5 · 34 · (–2x) + 10 · 33 · (–2x)2 +
+ 10 · 32 · (–2x)3 + … .

Ответ: –720.

V. Итоги урока. Рефлексия

Подумаешь, Бином Ньютона

Оскар Хуторянский

«Подумаешь, Бином Ньютона»
Кот промяукал Бегемот
(Он Воланда слуга покорный),
Предсказывая жизни ход. 
Все это только подтверждает
Ньютона гений, но давно
Бином известен был в Китае,
Арабы знали про него.
Но обобщил Ньютон решение,
Возвёл он в степень многочлен…
Избавил нас от всех сомнений
Других же нет у нас проблем. 
Скажите нам совсем без прений
Зачем нам нужен тот бином?
Комбинаторику явлений
Мы без бинома не найдём.

-Что нового вы узнали на уроке?  Важна ли эта формула для математики? Трудно ли вам было усваивать новый материал?

VI. Домашнее задание: № 53.1 (в; г), № 53.2 (в; г), № 53.5(а,б).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.